Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.
Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:
Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:
(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.
(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).
(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.
En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involución
¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)

Idempotencia
(p ^ ¬ p) ↔ p
(p v ¬ p) ↔ p

Conmutatividad
a) de la disyunción: p v q ↔ q v p
b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p

Asociatividad
a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)
b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

Distributividad:
De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)
De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)

Leyes de De Morgan
~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q

“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”
~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q

“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”
Negación de una Implicación
Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:


Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:
~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que:
~ ( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q)
Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.
Ejemplo: Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo.
Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.